In matematica, l’assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l’insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.
Se ad esempio l’insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l’insieme {x ∈ R | x2 < 2}), l’estremo superiore è <math>\sqrt 2</math>. L’assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l’insieme abbia un estremo inferiore.
Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L’insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l’insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.
Continuità della retta
Grazie all’assioma di Dedekind, una retta è continua, cioè “non ha buchi”: fissata una qualunque partizione della retta in due insiemi <math> A </math> e <math> B </math> tale che ogni elemento di <math> A </math> è minore di ogni elemento di <math> B </math>, esiste sempre un punto <math> x </math>, detto elemento separatore, che “sta tra <math> A </math> e <math> B </math>”, cioè è maggiore o uguale a ogni elemento di <math> A </math> e minore o uguale ad ogni elemento di <math> B </math>.
Completezza dei numeri reali
Usando l’assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.
Dimostrazione
Sia <math>\{ s_n\}</math> una successione di Cauchy. Sia <math> S </math> l’insieme dei numeri reali che sono maggiori di <math>s_n</math> solo per un numero finito di valori di <math>n</math>. Questo insieme è quindi limitato superiormente e quindi ha un estremo superiore <math> s </math>. Mostriamo che effettivamente la successione <math> s_n </math> tende a <math> s </math>.
Per ogni <math> \epsilon </math>, esiste un <math> N </math> tale che <math>|s_n-s_m|<\epsilon</math> per ogni <math> n </math>, <math> m </math> maggiore o uguale a <math> N</math>. Allora la successione assume infinite volte valori all’interno dell’intervallo <math>(s_N-\epsilon, s_N+\epsilon)</math> e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi <math>s_N-\epsilon </math> è un elemento di <math> S</math> e <math>s_N+\epsilon</math> è maggiore di ogni elemento di <math> S </math>, e quindi è maggiore o uguale ad <math> s </math>.
Quindi <math> s </math> è contenuto nell’intervallo <math>(s_N-\epsilon, s_N+\epsilon)</math>, e per la disuguaglianza triangolare risulta che
- <math>d(s_n, s)\le d(s_n, s_N)+d(s_N, s)\le\epsilon +\epsilon =2\epsilon</math>.
Quindi <math>s_n\to s</math> e la successione converge. Q.E.D.
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